Documentation: Teoria da modelagem do motor DC

Documentation/abntex2ime/main.loq

@@ -1 +1 @@
-\contentsline {quadro}{\numberline {1}{\ignorespaces Exemplo de quadro}}{28}{quadro.3.1}%
+\contentsline {quadro}{\numberline {1}{\ignorespaces Exemplo de quadro}}{30}{quadro.3.1}%

Documentation/abntex2ime/refs.bib

@@ -382,6 +382,17 @@
 	year = {2005}
 }
 
+@book{Franklin2019-dx,
+  title     = "Feedback control of dynamic systems, global edition",
+  author    = "Franklin, Gene F and Powell, David and Emami-Naeini, Abbas",
+  publisher = "Pearson Education",
+  edition   =  8,
+  month     =  may,
+  year      =  2019,
+  address   = "London, England",
+  language  = "en"
+}
+
 % -----
 % CAPÍTULO DE LIVRO
 %
@@ -561,4 +572,12 @@
     url = {https://robocup-ssl.github.io/ssl-rules/},
     note = {04 mai. de 2023},
     year = {2023}
+}
+
+@misc{Refdiagramamotordc,
+    Organization = {Nagwa},
+    title = {Lesson Explainer: Direct Current Motors},
+    url = {https://www.nagwa.com/en/explainers/246108560531/},
+    note = {27 set. de 2023},
+    year = {2023}
 }

Documentation/abntex2ime/teoria.tex

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 \chapter{Teoria}
 \section{Modelagem do motor DC}
-O motor DC com escovas (brushed) de imã permanente, utilizado nos três robôs, pode ser modelado da seguinte forma:
+
+\par O motor DC utilizado nos três robôs é do tipo com escovas (brushed) de imã permanente. Uma representação gráfica desse tipo de motor pode ser vista na figura \ref{fig:diagramamotordc}
+
+\begin{figure}[!ht]
+	\centering
+	\includegraphics[width=\textwidth]{img/MotorDC-crop.pdf}   
+	\caption{Representação gráfica de um motor DC. Tirado de \cite{Refdiagramamotordc}}
+	\label{fig:diagramamotordc}
+\end{figure}
+
+\par Na figura \ref{fig:diagramamotordc} podemos ver que o motor gira devido à corrente que passa em seu enrolamento presente no rotor. A corrente cria um campo magnético não paralelo ao criado pelos imãs permanentes do estator. Esse ângulo entre os campos magnéticos faz com que seja gerado um torque entre o rotor e o estator, proporcional à corrente que circula pelo enrolamento do rotor e ao cosseno do ângulo entre os campos magnéticos. Em motores com muitos enrolamentos no rotor chaveados pelas escovas, o que é o caso da maioria dos motores comerciais, inclusive os utilizados neste projeto, podemos considerar que o ângulo entre os campos magnéticos é próximo de 90 graus e, portanto o seu cosseno será aproximadamente igual a 1. Assim, o torque será proporcional apenas à corrente circulante no enrolamento \cite{Franklin2019-dx} e não dependerá do ângulo do rotor. Podemos então levantar a seguinte equação:
+
+\begin{equation}
+\tau = K_t \cdot\ i
+\end{equation}
+
+\par Onde $\tau$ é o torque gerado pelo motor, $K_t$ é uma constante de proporcionalidade a ser determinada experimentalmente, chamada aqui de constante de torque, e $i$ é a corrente circulante no motor.
+\par Além disso, o rotor girando em torno de um campo magnético criado pelos imãs permanentes do estator faz com que seja induzida uma força eletromotriz sobre o enrolamento. Esta força eletromotriz será proporcional à taxa de variação do fluxo magnético no interior do enrolamento. Como o enrolamento tem área atravessada pelo campo magnético constante, a força eletromotriz induzida será proporcional à velocidade angular do rotor \cite{Franklin2019-dx}, conforme a seguinte equação:
+
+\begin{equation}
+e = K_e \cdot \dot{\theta}_m
+\end{equation}
+
+\par Onde $e$ é a força eletromotriz induzida, $K_e$ é uma constante de proporcionalidade a ser determinada experimentalmente, chamada aqui de constante elétrica, e $\dot{\theta}$ é a velocidade angular do motor.
+\par Sendo assim, o motor DC pode ser modelado segundo o seguinte circuito elétrico e diagrama de corpo livre \cite{Franklin2019-dx}:
+
+\begin{figure}[!ht]
+	\centering
+	\includegraphics[width=\textwidth]{img/CircuitoMotorDC-crop.pdf}   
+	\caption{Circuito equivalente e diagrama de corpo livre de um motor DC. Tirado de \cite{Franklin2019-dx}}
+	\label{fig:circuitomotordc}
+\end{figure}
+
+\par Agora, podemos modelar o motor DC pela seguinte função de transferência:
+
+\begin{equation}
+\frac{\theta_m(s)}{V_a(s)} = \frac{K_t}{s [(Js + b)(Ls + R) + K_tK_e ]}
+\end{equation}
+
+\par Onde $\theta_m$ é o ângulo do motor, $V_a$ é a tensão aplicada ao enrolamento, $K_t$ é a constante de torque do motor DC, $K_e$ é a constante elétrica, $J$ é o momento de inércia, $b$ é a constante de atrito viscoso, $L$ é a indutância do enrolamento e $R$ é a resistência do enrolamento.
+\par Caso queiramos a função de transferência da velocidade, podemos calculá-la multiplicando a da posição por $s$, assim:
+
+\begin{equation}
+\frac{\dot{\theta}_m(s)}{V_a(s)} = \frac{K_t}{(Js + b)(Ls + R) + K_tK_e}
+\label{eqn:ftMotorDCCompleta}
+\end{equation}
+
+\par Na maioria dos motores DC comerciais, inclusive nos utilizados nos deste trabalho, o efeito da indutância é muito pequeno quando comparado com o efeito do momento de inércia. Assim, a função de transferência \ref{eqn:ftMotorDCCompleta} pode ser simplificada \cite{Franklin2019-dx} para:
+
+\begin{equation}
+\frac{\dot{\theta}_m(s)}{V_a(s)} = \frac{K_p}{1 + T_{p1}s}
+\label{eqn:ftMotorDC}
+\end{equation}
+
+\par Onde:
+
+\begin{equation}
+K_p = \frac{K_t}{bR + K_tK_e}
+\end{equation}
+\begin{equation}
+T_{p1} = \frac{RJ}{bR + K_tK_e}
+\end{equation}
+
+\par As constantes $K_p$ e $T_{p1}$ podem tanto ser calculadas matematicamente pelas equações acima quanto determinadas experimentalmente com o auxílio de uma bancada de testes e ferramentas computacionais.