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\chapter{Teoria}
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\section{Modelagem do motor DC}
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\par O motor DC utilizado nos três robôs é do tipo com escovas (brushed) de imã permanente. Uma representação gráfica desse tipo de motor pode ser vista na figura \ref{fig:diagramamotordc}
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\begin{figure}[!ht]
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\centering
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\includegraphics[width=\textwidth]{img/MotorDC-crop.pdf}
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\caption{Representação gráfica de um motor DC. Tirado de \cite{Refdiagramamotordc}}
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\label{fig:diagramamotordc}
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\end{figure}
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\par Na figura \ref{fig:diagramamotordc} podemos ver que o motor gira devido à corrente que passa em seu enrolamento presente no rotor. A corrente cria um campo magnético não paralelo ao criado pelos imãs permanentes do estator. Esse ângulo entre os campos magnéticos faz com que seja gerado um torque entre o rotor e o estator, proporcional à corrente que circula pelo enrolamento do rotor e ao cosseno do ângulo entre os campos magnéticos. Em motores com muitos enrolamentos no rotor chaveados pelas escovas, o que é o caso da maioria dos motores comerciais, inclusive os utilizados neste projeto, podemos considerar que o ângulo entre os campos magnéticos é próximo de 90 graus e, portanto o seu cosseno será aproximadamente igual a 1. Assim, o torque será proporcional apenas à corrente circulante no enrolamento \cite{Franklin2019-dx} e não dependerá do ângulo do rotor. Podemos então levantar a seguinte equação:
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\begin{equation}
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\tau = K_t \cdot\ i
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\end{equation}
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\par Onde $\tau$ é o torque gerado pelo motor, $K_t$ é uma constante de proporcionalidade a ser determinada experimentalmente, chamada aqui de constante de torque, e $i$ é a corrente circulante no motor.
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\par Além disso, o rotor girando em torno de um campo magnético criado pelos imãs permanentes do estator faz com que seja induzida uma força eletromotriz sobre o enrolamento. Esta força eletromotriz será proporcional à taxa de variação do fluxo magnético no interior do enrolamento. Como o enrolamento tem área atravessada pelo campo magnético constante, a força eletromotriz induzida será proporcional à velocidade angular do rotor \cite{Franklin2019-dx}, conforme a seguinte equação:
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\begin{equation}
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e = K_e \cdot \dot{\theta}_m
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\end{equation}
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\par Onde $e$ é a força eletromotriz induzida, $K_e$ é uma constante de proporcionalidade a ser determinada experimentalmente, chamada aqui de constante elétrica, e $\dot{\theta}$ é a velocidade angular do motor.
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\par Sendo assim, o motor DC pode ser modelado segundo o seguinte circuito elétrico e diagrama de corpo livre \cite{Franklin2019-dx}:
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\begin{figure}[!ht]
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\centering
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\includegraphics[width=\textwidth]{img/CircuitoMotorDC-crop.pdf}
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\caption{Circuito equivalente e diagrama de corpo livre de um motor DC. Tirado de \cite{Franklin2019-dx}}
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\label{fig:circuitomotordc}
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\end{figure}
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\par Agora, podemos modelar o motor DC pela seguinte função de transferência:
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\begin{equation}
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\frac{\theta_m(s)}{V_a(s)} = \frac{K_t}{s [(Js + b)(Ls + R) + K_tK_e ]}
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\end{equation}
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\par Onde $\theta_m$ é o ângulo do motor, $V_a$ é a tensão aplicada ao enrolamento, $K_t$ é a constante de torque do motor DC, $K_e$ é a constante elétrica, $J$ é o momento de inércia, $b$ é a constante de atrito viscoso, $L$ é a indutância do enrolamento e $R$ é a resistência do enrolamento.
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\par Caso queiramos a função de transferência da velocidade, podemos calculá-la multiplicando a da posição por $s$, assim:
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\begin{equation}
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\frac{\dot{\theta}_m(s)}{V_a(s)} = \frac{K_t}{(Js + b)(Ls + R) + K_tK_e}
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\label{eqn:ftMotorDCCompleta}
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\end{equation}
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\par Na maioria dos motores DC comerciais, inclusive nos utilizados nos deste trabalho, o efeito da indutância é muito pequeno quando comparado com o efeito do momento de inércia. Assim, a função de transferência \ref{eqn:ftMotorDCCompleta} pode ser simplificada \cite{Franklin2019-dx} para:
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\begin{equation}
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\frac{\dot{\theta}_m(s)}{V_a(s)} = \frac{K_p}{1 + T_{p1}s}
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\label{eqn:ftMotorDC}
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\end{equation}
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\par Onde:
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\begin{equation}
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K_p = \frac{K_t}{bR + K_tK_e}
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\end{equation}
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\begin{equation}
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T_{p1} = \frac{RJ}{bR + K_tK_e}
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\end{equation}
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\par As constantes $K_p$ e $T_{p1}$ podem tanto ser calculadas matematicamente pelas equações acima quanto determinadas experimentalmente com o auxílio de uma bancada de testes e ferramentas computacionais.
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